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干货!从初三数学期末考函数压轴题说起

目前为止看到了六个区的初三数学试卷,其中番禺区比较特别,压轴题两道都是偏几何的,没有传统的函数压轴题,另外五个区的函数压轴题分别如下。


越秀区


增城区


天河区


白云区


海珠区

所有题目清一色都是“没图+含参”的,而且过去几年都是类似这样的题目。往小了讲,这能够反映出题者的偏好;往大了说,这反映了教育部门希望选拔怎样的学生,希望学生具备怎样的能力

多年前的函数压轴题,出的是类似“铅锤法”求三角形最值,是“是否存在等腰/直角三角形”(如海珠区第二个问),是“定函数+动点”的类型。学生可以在一个确定下来的图像上设动点,然后去套公式,套方法。

这些都是以往反复做过的,往往就是换一下函数系数,换一些变化不大学生能看出来的条件,内核一个模子。既然有迹可循,那么在课外辅导机构死命刷这样的题目就是了。

但现在,这样类型的题目已经较少出现,或者说不够资格出现在压轴题的最后一个问。现在这些题目,直接给的都是“动函数”,即函数系数含参,这意味着学生不能画出一个固定的图,而且常常要分类讨论。

普通的学生,再认真上课,吃透了课本的知识和题目,但计算能力欠缺(指处理含参复杂式子的能力),或者对函数图像理解不深入,都不足以解决此类问题。

说得悬一点,就是要有一些“悟性”。

以越秀区的这道题为例。


这道题其实难度是不大的,前两个问都属于容易理解,能够硬解,技术含量不大的题目。那么哪怕第三个问做不了,至少6~7分也到手了。中上水平学生,数学三位数已经很不错了,一道压轴题拿一半分,已经完成任务。反过来理解,那就是前两个问没做出来,说明二次函数知识掌握得还不够。


而第三个问,则充分体现了上面我说的,出题者对学生的要求。

这道题其实过程不复杂,就是分情况讨论,然后两种情况各用一个极其简单的不等式就能够解决,计算量非常低。

它的重点在于理解题目以及思考过程,也就是为什么最终会有这两个不等式,下面是分析过程:


题目给的m≤2,是有玄机的。函数与y轴交点在第一个问里面已经知道而本题函数的对称轴x=1,意味着y=-3a与函数的两个交点,距离恰好就是2。这样一来,当开口向下的时候,如果MN在上图这条虚线上方(含重合),则MN≤2,满足要求(上图左);如果MN在这条虚线下方,则MN>2,不满足要求(上图右),再结合P点纵坐标的范围得到不等式。开口向上同理。

数形结合的典型案例。学生要思考题目所给的条件下,这个含参的二次函数怎么“摆”,才会满足题目条件,然后这个“摆法”下,如何列式去求出参数的值或取值范围。

其他区的情况大同小异。

还有一个情况值得一提的,那就是所谓“送分题”的压轴题第一个问。这五个区的函数压轴里面,有四个区的第一个问确实基本就是送分的,唯独天河区例外。天河区的这道压轴第一个问,盲猜难倒了部分中上学生。


其他区的第一个问要么直接给你参数的值算个坐标(海珠、增城),要么是正路的给点求解析式(白云),再不济也是求个带参数的坐标而已(越秀)。

唯独天河,也不知道是不是和学生有仇,还是出题的那天心情不好,这样的第一个问确实过分了。对基础一般,不太灵活的学生不是那么友好,会有不少人本题喜提零分。


想要在中考数学,乃至高中数学上面更上一层楼的同学,是离不开大量的这样类型的题目的训练的。倒也没有什么诀窍,无非就是一道一道地做,做的时候勤思考,做完对答案善总结。像这些题,你不去想,光看答案,你根本不知道为什么会有这条式子出现,其实那是经过分析对比,把函数“摆”成题目要的样子才能得到的。

不要想着一步登天,一道一道题下来,进步就会在不经意间发生

另外,压轴题也不是每个人都能攻克的。我说过了,哪怕你的目标是省实华附,中考数学三位数也就不拖后腿了,达成三位数最重要的是确保前面的题目,而不是攻克压轴题。

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